光 为什么 折射(为什么光线会折射)

虽然两点之间的直线段最短，但并不意味着所花费的时间最短。下面我举个例子来解答，保证初中生能够理解；相信很多人读完之后都会有一种恍然大悟的感觉。这个例子甚至可以帮助大家更深入地理解中考数学题——胡步规题——。

以下为整理的故事：

知乎举办体能比赛，从起点最快到达终点的答题者将获得知乎大奖。赛道分为陆地和水上部分。据了解，所有受访者在陆地上的游泳速度为5m/s，在水中的游泳速度为2m/s。每个人都在积极思考如何以最快的速度到达那里。

这时，提问者笑道：“这太简单了，两点之间的直线段最短，你等着瞧吧！”于是他选择了下图中的路。他在陆地上跑了500m，在水中游了500m，最终成绩为rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='500/5+500/2=350#xA0;s'角色='演示'500/5+500/2=350s500/5+500/2=350\s

提问者得意地想，现在蝉奖肯定是我的了。

这时，又一位名不见经传的选手出现了。他认为自己在陆地上快，在水中慢，应该扬长避短，所以他选择了下图中的——号路径，尽量减少在水中的时间。最终，他在陆地上跑了854.4m，在水中游泳了300m，总共用时rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='854.4#xFF0F;5+300#xFF0F;2=320.9#xA0;s'角色='演示'854.45+3002=320.9s854.45+3002=320.9\s，以近30秒的优势击败了对象。现在轮到参赛者感到自豪了，而参赛者自己的世界观却崩溃了。

正当所有人都以为这位选手要夺冠的时候，

@Phosphates出现在擂台上。他说：“大自然教会了我们很多东西。你无法抗拒自然的力量。'他设计了这样的路线，写了这样的函数，还声称最终的结果会符合光的折射定律（斯涅尔定律）ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='t=f(x)=(300)2+(400+x)25#xA0;+#xA0;(300)2+(400#x2212;x)22'角色='演示't=f(x)=(300)2+(400+x)25+(300)2+(400x)22t=f(x)=\frac{\sqrt{(300)^2+(400+x)^2}}{5}\+\\frac{\sqrt{(300)^2+(400-x)^2}}{2}

稍后将讨论寻找该函数最小值的方法。这里我们使用matlab进行数值模拟计算，发现当x约为280时，至少需要310.2s，击败了之前的所有结果。

接下来我们来验证一下这个结果确实符合折射定律

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='sin#xA0;#x3B1;=6806802+3002=0.915'角色='演示'sin=6806802+3002=0.915sin\=\frac{680}{\sqrt{680^2+300^2}}=0.915

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='sin#xA0;#x03B2;=1201202+3002=0.371'角色='演示'sin=1201202+3002=0.371sin\\beta=\frac{120}{\sqrt{120^2+300^2}}=0.371

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='sin#xA0;#x03B1;sin#xA0;#x03B2;=2.5=5#xA0;m/s2#xA0;m/s'角色='演示'sinsin=2.5=5m/s2m/s\frac{sin\\alpha}{sin\\beta}=2.5=\frac{5\m/s}{2\m/s}

可见确实符合折射定律。

接下来将通过严格的数学推导来证明它符合折射定律：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='t=f(x)=(300)2+(400+x)25#xA0;+#xA0;(300)2+(400#x2212;x)22'角色='演示't=f(x)=(300)2+(400+x)25+(300)2+(400x)22t=f(x)=\frac{\sqrt{(300)^2+(400+x)^2}}{5}\+\\frac{\sqrt{(300)^2+(400-x)^2}}{2}

求最小值，导数等于0

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='t#x2032;=f(x)#x2032;=x+4005#x2217;(300)2+(400+x)2#xA0;+#xA0;x#x2212;4002#x2217;(300)2+(400#x2212;x)2=0'角色='演示't=f(x)=x+4005*(300)2+(400+x)2+x4002*(300)2+(400x)2=0t=f(x)=\frac{x+400}{5*\sqrt{(300)^2+(400+x)^2}}\+\\frac{x-400}{2*\sqrt{(300)^2+(400-x)^2}}=0

转账后有

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(x+400)/(300)2+(400+x)2(400#x2212;x)/(300)2+(400#x2212;x)2#xA0;=#xA0;52'角色='演示'(x+400)/(300)2+(400+x)2(400x)/(300)2+(400x)2=52\frac{(x+400))/\sqrt{(300)^2+(400+x)^2}}{(400-x)/\sqrt{(300)^2+(400-x)^2}}\=\\frac{5}{2}

在

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(x+400)/(300)2+(400+x)2=sin#xA0;#x03B1;'角色='演示'(x+400)/(300)2+(400+x)2=sin(x+400)/\sqrt{(300)^2+(400+x)^2}=sin\\

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(400#x2212;x)/(300)2+(400#x2212;x)2=sin#xA0;#x03B2;'角色='演示'(400x)/(300)2+(400x)2=sin(400-x)/\sqrt{(300)^2+(400-x)^2}=sin\

所以我们也用严格的数学来证明折射定律

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='sin#xA0;#x03B1;sin#xA0;#x03B2;=5#xA0;m/s2#xA0;m/s=2.5'角色='演示'sinsin=5m/s2m/s=2.5\frac{sin\\alpha}{sin\\beta}=\frac{5\m/s}{2\m/s}=2.5