大学物理理想气体的压强和温度公式(理想气体压强和温度的表达式)

一、背景知识

理想气体微观模型：

1、分子的体积可以忽略不计；

2、除碰撞瞬间外，分子间的作用力可以忽略不计；

3、分子间碰撞和与壁面的碰撞视为完全弹性碰撞；

4.分子遵循经典运动定律。

热力学平衡中理想气体的统计假设：

1、分子空间分布均匀（气体分子数密度rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='n=dNdV=NV'role='presentation'n=dNdV=NVn=\frac{dN}{dV}=\frac{N}{V}处处相等）；

2.分子碰撞频繁，有均等的机会向各个方向移动（rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='vx#x2192;#x00AF;=vy#x2192;#x00AF;=vz#x2192;#x00AF;=0,vx2#x00AF;=vy2#x00AF;=vz2#x00AF;'角色='演示'vx=vy=vz=0,vx2=vy2=vz2\bar{\vec{v_{x}}}=\bar{\vec{v_{y}}}=\bar{\vec{v_{z}}}=0，\bar{v_{x}^{2}}=\bar{v_{y}^{2}}=\bar{v_{z}^{2}})。

理想气体状态方程：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='PV=vRT'role='presentation'PV=vRTPV=vRT，此公式为'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='v'role='presentation'vv为气体分子的摩尔数，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='R'role='presentation'RR是通用气体常数。

玻尔兹曼常数：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='k=RNA'role='presentation'k=RNAk=\frac{R}{N_{A}}，由此我们可以得到理想气体状态方程的另一种形式：rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='P=nkT'role='presentation'P=nkTP=nkT，其中rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='n'role='presentation'nn为分子数密度模型'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='NV=vNAV'角色='演示'NV=vNAV\frac{N}{V}=\frac{vN_A}{V}。

冲动：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='I=Ft'角色='演示'I=FtI=Ft

分子的平均平移动能：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x03B5;kt#x00AF;=12mv2#x00AF;'角色='演示'ktˉ=12mv2ˉ\bar{\varepsilon_{kt}}=\frac{1}{2}m\bar{v^2}

二、推导

1.压强公式

假设有一个封闭的矩形容器，里面充满了理想气体。每个气体分子撞击内壁时都会产生力。少量气体分子产生的力是间歇性的，而大量气体分子产生的力是连续且稳定的。因此，只有存在大量分子时，才能在宏观尺度上感受到压力。

假设有一个矩形容器，其长、宽、高分别为。有ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='N'role='presentation'容器中的NN个气体分子。如果要计算容器任意壁上的压力，必须先计算rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='N'role='presentation'N个分子对壁的平均力减小到零。我们可以首先计算一个分子对壁的作用力。问题是，如何计算分子对壁面施加的力？这时，我们可以使用冲量，因为单位时间内粒子冲量的变化就等于力的值。

推导过程（注：不考虑分子旋转和振动，将分子视为单个原子）：

第1步：找出单个分子在一秒钟内的影响。tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='lylz'role='演示'lylzl_yl_zwalltimesrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f'角色='演示'ff

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='T=2lxvx,f=1T'角色='演示'T=2lxvx,f=1TT=\frac{2l_{x}}{v_{x}},f=\frac{1}{T}

第二步：找到rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='N'role='presentation'rame中的NN分子'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='1s'role='presentation'1s1s冲击器壁变化的总动量，从而求出气体施加的压力

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Ix=2mvx,I#x603B;=#x2211;1NIxf=vx2lx#x2211;1N2mvx=Ft,#x2235;t=1s#x2234;I#x603B;=F'角色='演示'总计总计Ix=2mvx,I总计=1NIxf=vx2lx1N2mvx=Ft,t=1sI总计=FI_{x}=2mv_{x},I_{总计}=\sum_{1}^{N}{I_{x}f}=\frac{v_{x}}{2l_{x}}\sum_{1}^{N}2mv_{x}=Ft,\因为t=1s\因此I_total=F

第三步：找到压力

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='P=FS，S=lylz#x2192;P=vx2lxlylz#x2211;1N2mvx=NV#x2211;1Nmvx2#x00F7;N=nmvx2#x00AF;=13nmv2#x00AF;'角色='演示'P=FS,S=lylzP=vx2lxlylz1N2mvx=NV1Nmvx2N=nmvx2ˉ=13nmv2ˉP=\frac{F}{S},S=l_{y}l_{z}\rightarrowP=\frac{v_{x}}{2l_{x}l_{y}l_{z}}\sum_{1}^{N}{2mv_{x}}=\frac{N}{V}\sum_{1}^{N}mv_{x}^{2}\divN=nm\bar{{v_{x}}^{2}}=\frac{1}{3}nm\bar{v^{2}}

2.温度公式

ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='P=nkT=13nmv2#x00AF;=23n#x03B5;kt#x00AF;#x2192;#x03B5;kt#x00AF;=32kT'角色='演示'P=nkT=13nmv2′=23nkt′ktˉ=32kTP=nkT=\frac{1}{3}nm\bar{v^{2}}=\frac{2}{3}n\bar{\varepsilon_{k_{}t}}\rightarrow\bar{\varepsilon_{kt}}=\frac{3}{2}htK

注：气体温度是分子平均平动动能的量度，反映了系统中分子不规则热运动的强度，与旋转动能和振动动能无关。

3.方均根速率

ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='P=nkT=13nmv2#x00AF;#x2192;v2#x00AF;=3kTm=3RTMmol'角色='演示'P=nkT=13nmv2′v2′=3kTm=3RTMmolP=nkT=\frac{1}{3}nm\bar{v^2}\rightarrow\sqrt{\bar{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M_{摩尔}}}