在导数题中如何找特殊点(高中特殊导数公式)

这道例题是高考特殊限制下的一道“难题”。本来很简单，但在高考的特殊限制下，却成了一道不容易拿满分的题：

2018全国II(文)：

(1)不难问。可以得到rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f#x2032;(x)=x2#x2212;6x#x2212;3'角色='演示'f(x)=x26x3f(x)=x^{2}-6x-3，所以单调递增区间为rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(#x2212;#x221E;3#x2212;23)'角色='演示'(,323)(-\infty,3-2\sqrt{3})和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(3+23,+#x221E;)'role='presentation'(3+23,+)(3+2\sqrt{3},+\infty)，单调递减区间随机'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(3#x2212;23,3+23)'角色='演示'(323,3+23)(3-2\sqrt{3},3+2\sqrt{3})。

（2）无论是分离变量还是非分离变量，都会陷入“找点”的泥潭。我们先来说说非分离变量。可以找到rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='f#x2032;(x)=x2#x2212;2ax#x2212;a'角色='演示'f(x)=x22axaf(x)=x^{2}-2ax-A。如果在计算极值之前先对这个东西进行分类，讨论增减，那就太麻烦了。因为极值点的形式不太友好，必须转化为函数零点的问题才能更好地计算。相对而言，这种做法不如分离变量。你需要了解或发现rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='h(x)=x3+x2+x'role='演示'h(x)=x3+x2+xh(x)=x^{3}+x^{2}+x就是更自然地认为单调递增：

为了证明单调函数的零点，我们需要找到两个满足零点定理的特殊点。针对这两个特殊点如何入手呢？如果有经验的话可以使用rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='g(x)'role='presentation'g(x)g(x)变换如下：rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='g(x)=x2(ax+a)+ax#x2212;13'角色='演示'g(x)=x2(ax+a)+ax13g(x)=x^{2}(ax+a)+ax-\frac{1}{3}，我们让前后部分相同'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='0'role='presentation'00，你会得到rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x=#x2212;1'角色='演示'x=1x=-1withrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x=13a'角色='演示'x=13ax=\frac{1}{3a}:

其实只要看看上面的方法就可以了。它主要用于扩展你的想法。您还可以尝试记住三次函数来查找特殊点。首先将其分成两段，然后将其设为'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='0'role='presentation'00方法——当然，这个方法不一定有效。解决这个问题的一般方法是将变量分开，尽管稍后你会遇到一些麻烦：

之后，我们又进入了找点的过程。很明显rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='g(x)'role='presentation'g(x)g(x)域和取值范围都是相同的'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='R'role='presentation'RR，所以肯定只有一个零点，但是直接这样写几乎肯定会扣分，因为取值范围是rame'tabindex='0'style='字体大小：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='R'role='presentation'RR是通过极端观察而不是利用高中知识来证明的。网上给出的标准答案是这样的：

这两个特殊点可以说是神来之笔，让人措手不及。遗憾的是，对于这个问题，网上或者各个助教的大部分答案要么不假思索地抛出这两个特殊点，要么直接拿来。极限，简单的部分写在一本大书里，但真正的困难却被简单地涵盖了。这道题除了找出特殊点之外，还有什么难度吗？那么我们就来说说这两个特殊点是如何产生的。

寻找特殊点的方法千差万别，但大多数都是基于缩放，所以看看rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='g(x)'role='presentation'g(x)g(x)看看是否可以将其扩展为更易于管理的形式。我们熟悉的rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x3#x2212;1=(x#x2212;1)(x2+x+1)'角色='演示'x31=(x1)(x2+x+1)x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)，根据这个三次差分公式，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='g(x)'role='presentation'g(x)g(x)缩小为非常容易处理的形式：

现在你知道了rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x=3a#x2212;1'角色='演示'x=3a1x=3a-1withrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x=3a+1'role='presentation'x=3a+1x=3a+1这两个特殊点是从哪里来的呢？世界上没有无缘无故的“特殊点”。

立方差和立方和的公式是高考中非常重要的公式，也是最容易被忽视的公式。