全国卷高考数学常考题型和知识点有哪些(全国卷高考数学常考题型和知识点有哪些类型)

2022年高考数理国卷B的填空期末题和整卷期末题其实是同一类型的题。都是利用导数来判断函数的性质，最终找到参数的取值范围。看来这一类题是高考理科、数学卷子的最爱。难怪总是有高中生索要此类问题的资源。

老黄觉得这种问题挺烦人的。当然，这主要是老黄接触太少造成的。我相信，随着老黄的不断探索，迟早他会把这类问题作为一个范畴，给出子问题。你明白这段话的意思吗？只要你足够努力，你也可以把这类题当作评分题。但现在老黄想要解决他们确实很难。

已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2a^x-ex^2（a0和a1）的最小值和最大值点。若x1x2，则实数a的取值范围为______。

分析：这个问题应该分两部分来思考；一是函数有两个极值点的情况；另一种是最大值点在最小值点右侧的情况。

a的取值范围有两个端点。右端点很好找，左端点才是这道题的绝对难点。它的难度不亚于全卷的结局题。

有很多方法可以找到正确的端点。并且每种方法都可以成为解决问题的常规。老黄这里提供的当然是他自己的方法。

这类问题一般需要先求函数，f'(x)=2a^xlna-2ex。从导函数f'(x)的性质可以看出，f(x)最多有两个极值点（对应于f(x)的两个零点）。如果函数可以有两个以上的极值点，问题就会变得特别复杂。幸运的是，它最多只有两个极值点。我们只需要画出导函数f'(x)的图就可以求出。无需解释，这只是一道填空题。

当a=1时，f(x)=2-ex^2，f(x)只有一个极值点，不符合题意！这相对容易排除。

f’(x2)=2a^(x2)lna-2ex2=0,f’(x1)=2a^(x1)lna-2ex1=0,

a^(x2)lna-ex2+a^(x1)lna-ex1=0，a^(x2)lna-ex2-a^(x1)lna+ex1=0，是上面两个公式的和，并且差值等于0。

lna=e(x2+x1)/(a^(x2)+a^(x1))=e(x2-x1)/(a^(x2)-a^(x1))=0,

(x2+x1)(a^(x2)-a^(x1))=(x2-x1)(a^(x2)+a^(x1))。

化简得到x1a^(x2)=x2a^(x1)。x2/x1=a^(x2-x1)0，即x1和x2符号相同。

如果a大于1，则0x1x2，而当A极值一定是最大值，而不是最小值，不符合题意，所以这种情况必须舍弃！

如果a属于(0,1)，则x1x20，当x0-时，f'(x)2lna0，也就是说函数在到达左边第一个极值f(x2)之前是单调递减的在负区间内。这样得到的第一个极值一定是最大值，这和题意是一致的。但这只是必要条件，而不是充分条件，因为它仍然包含得不到极值的可能性。

不管怎样，我们已经得到了a的取值范围的右端点，a小于1，然后再求左端点。方法非常简单。但在你得到方法之前，你能想到的可能很少。

而当f’(x)=2a^xlna-2ex0时，f(x)单调递减，与题意不符。不需要考虑单调递增的情况，因为当a小于1时，这种可能性不存在。

即a^xlnaex，lnaex/a^x。

记住g(x)=ex/a^x(x0)，则g’(x)=e(1-xlna)/a^x，

1-xlna0时，x1/lna，g(x)单调递增；当1-xlna0时，x1/lna，g(x)单调增加；这表明x=1/lna是g(x)值的最大值点，并且是最大值点。

g(x)g(1/lna)=e/(elna)=1/lna,

即lnaex/a^x1/lna。如果解a1/e，则丢弃它！反之，当a1/e时，则满足条件。因此，综上所述，a的取值范围为：(1/e,1)。这种试图求一个大于1/e，却碰到a1/e的方法，老黄用过，还真没见过。你觉得这应该叫“欲擒故纵”吗？还是叫“东声西击”呢？

最后我们看一下a在不同取值范围下的函数图像，以加深我们对这个问题乃至这一类问题的理解。下图是当a=1时，f(x)只有一个极值点的情况。

我们看一下当a1/e时函数的图像。此时f(x)无极值点；

下图是ae时的图像，同样没有极值点；

有一种情况有两个极值点，就是当a属于(1,e)时，但此时x2x1不满足题意。

只有最后一种情况，当a属于(-1/e,1)时，函数有两个极值点，x1x2。

老黄知识生态系统3243次同意去咨询现在你熟悉这个问题了吗？