三角函数公式几乎用个遍数表示(三角函数所用公式)

教育培训 2024-09-17 05:33:08 502 教育网

这是2022年高考数学卷一中关于三角形和三角函数的题，题目虽然不难，但是非常经典。因为它使用了大量的三角函数公式，所以几乎都用过一次。

设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知cosA/(1+sinA)=sin(2B)/(1+cos(2B))。

(1)若C=2/3，求B；

(2)求(a^2+b^2)/c^2的最小值。

分析：要解决这类问题，首先要把已知的方程关系转化为解决问题所需的公式。观察已知的等价关系，我们可以猜测转换过程需要用到多个角度的正弦和余弦公式，分别是：

sin(2B)=2sinBcosB和cos(2B)=2(cosB)^2-1=1-2(sinB)^2。代入已知的等价关系并化简后，就很难进行下一步了。我凭空想象出来的。我们只能摸着石头过河。

解：cosA/(1+sinA)=sin(2B)/(1+cos(2B))=2sinBcosB/(1+2(cosB)^2-1)=sinB/cosB。

[当然，接下来我们可以尝试很多不同的事情，但这基本上是一个试错的过程。如何提高一击命中的概率，只能依靠解决问题中积累的经验和观察问题的能力。现在将比例的基本性质应用到上面得到的结果上，即“两个内部项的乘积等于两个外部项的乘积”。这是小学六年级数学第二册学到的知识】

cosAcosB=sinB+sinAsinB，【注意观察，移项后，公式中出现了“和的余弦公式”的结果】

因而sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC，【余角的余弦彼此相反，基础知识一定要扎实。因此，根据余角的正弦等于余弦，对角的正弦相反，可得]

(1)B=C-/2=/6。

【关于第二个问题，你一看就知道需要用到“正弦定理”a/sinA=b/sinB=c/sinC=k。只需为它们设定一个比例即可。那么a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入原公式，得]

(2)(a^2+b^2)/c^2=((sinA)^2+(sinB)^2)/(sinC)^2【然后想办法把它转换成关于某个角度的角度正弦角函数]

=((sin(B+C))^2+(sinB)^2)/(sinC)^2【利用余角的正弦相等：sinA=sin(B+C)】

=((sinBcosC+sinCcosB))^2+(sinB)^2)/(sinC)^2【利用和的正弦公式：sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB]

=(-(cosC)^2+(sinC)^2)^2+(cosC)^2)/(sinC)^2【利用问题的结论，sinB=-cosC，所以cosB=sinC。这种关系有点难以理解。即sin(C-/2)=-cosC；且cos(C-/2)=sinC。每一个公式都要牢牢记住，尤其是最后一个。感觉有点奇怪。从特殊角度检查一下。就是这样]

=((sinC)^2-1+(sinC)^2)^2+1-(sinC)^2)/(sinC)^2=(4(sinC)^4-5(sinC)^2+2)/(sinC)^2【这次我们使用了正弦和余弦的平方和等于1的公式，以及完美的平方展开】

=4(sinC)^2-5+2/(sinC)^2=4平方根2-5。[只有在这里你才能使用平均不等式。如果你从一开始就使用a^2+b^2的均值不等式，最小值，那将是完全错误的，因为ab不是一个固定值，所以它不能。而这里2sinC和平方根2/sinC的乘积总是等于2平方根2，所以可以使用均值不等式]

所以当4(sinC)^2=2/(sinC)^2，即sinC=1/第四个平方根2时，(a^2+b^2)/c^2=4平方根2-5为最低。【一定要保证能得到最小值。否则，将采用域端点的值]

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