导数的运算法则及基本公式应用教案(导数的运算法则及基本公式应用例题)

教育培训 2024-09-27 05:13:20 356 教育网

高考要求

导数是中学限制内容中比较重要的知识。本部分主要训练和指导考生导数的定义、常用等式公式、四种算术求导规则和复合函数求导规则。

重难点归纳

1.深入理解导数的概念以及如何利用定义求简单的导数。

表示函数的平均变化，是x的函数，f(x0)表示一个数值，即f(x)=，知道导数的等价形式

2求导的本质是求极限。在求极限的过程中，力求将所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义。这是顺利求导的关键。

3、函数的求导，一般应遵循先化简后求导的基本原则。在推导推导时，不仅要注意推导规则的应用，还要特别注意推导规则对推导的限制。在实现化简时，首先要注意变换的等价性，避免不必要的计算错误。

4.复合函数的推导规则就像一条链条，必须一环紧扣，不能丢失任何一环。要正确分析复合函数以什么顺序复合的基本函数，并区分它们之间的复合关系。

典型题例示范讲解

例1求函数的导数

命题目的：本题三题分别考察导数的四种运算规则、复合函数的推导方法、抽象函数的推导思维方法。这是衍生品中典型的衍生类型。

基于知识回答这个问题的关键是分析函数的结构和特征，探索数量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数。

错解分析：这道题的难点在于推导过程中符号判断不清晰，将复合函数的结构分解为基本函数。

技巧与方法：首先分析函数结构，识别复合函数的公式特征，并根据求导规则进行求导。

(2)解y=3,=ax-bsin2x,=av-by

v=x,y=sin=x

y=(3)=32·=32(avby)=32(avby)=32(avby)

=3(axbsin2x)2(absin2x)

(3)解1假设y=f(),=,v=x2+1，则yx=yv·vx=f()·v·2x

=f()··2x=

解2y=[f()]=f()·()

=f()·(x2+1)·(x2+1)=f()·(x2+1)·2x

=f()

例2利用导数求和

(1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1(x0,nN*)

(2)Sn=C+2C+3C+…+nC,(nN*)

命题的目的是培养考生思维的灵活性和灵活整合知识点建立知识体系的能力。

知识基础：通过联想一般术语的顺序，合理运用逆向思维。从推导公式(xn)=nxn-1，我们可以认为它们是另一个和的导数。关键是掌握一般术语序列的形式结构。

错误答案分析：这道题的难点在于考生容易在思维上出错，受此影响不善于联想。

技术与方法问题(1)应以x=1且x1来讨论，并在方程两边求导数。

解(1)当x=1时Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)；

当x1时，x+x2+x3+…+xn=，两边都是关于x的函数，导数为

(x+x2+x3+…+xn)=()即Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=

(2)(1+x)n=1+Cx+Cx2+…+Cxn,

两边都是关于x的可微函数。导数为n(1+x)n-1=C+2Cx+3Cx2+…+nCxn-1，

设x=1，n·2n-1=C+2C+3C+…+nC，即Sn=C+2C+…+nC=n·2n-1

例3已知曲线Cy=x33x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x00)，求直线l的方程及切点坐标

解：从l经过原点，可知k=(x00)，点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03-3x02+2x0，

=x02-3x0+2y=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2且k=,3x02-6x0+2=x02-3x0+2

2x023x0=0,x0=0或x0=由x0可知x0=y0=()33()2+2·=

k==-l方程y=-x切点(,-)

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