不等式的概念及其性质(不等式的性质和概念)

这部分小学没接触过，是全新的内容，不过不用担心，一开始的内容比较简单。

知识点

不等式的相关概念

1.定义

用不等号表示不等关系的表达式称为不等式。不等号包括“”“”“”“”“”。

[示例]rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='3lt;4#xFF0C;2x#x2265;50#xFF0C;a#x2212;2#x2260;a+2'角色='演示',34,2x50,a2a+234,2x50,a2a+2等

“注意”

当我们判断一个表达式是否为不等式时，只需看是否有不等号即可。这与这个公式是否正确无关。例如rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='3#xFF1E;10'role='presentation'310310是一个矛盾，但仍然是一个不等式。

对于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x2265;'role='presentation'\geq和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x2264;'role='presentation'\leq，它们代表的就是“大于等于”；“小于或等于”。如果满足两个条件中的任何一个，则为真。例如rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='3#x2264;5'角色='演示'353\leq5和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='5#x2264;5'role='presentation'555\leq5均成立。

“”不是不等式。

2.不等式的解和解集

不等式的解：使不等式成立的未知数称为不等式的解。

不等式的解集：包含未知数的不等式的所有解构成该不等式的解集。

解是一个固定值，解集是一个包含无数组解的范围。

[示例]4是不等式6'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='2xgt;6'role='presentation'2x62x6解，这个不等式的解集为3'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='xgt;3'角色='演示'x3x3.

求解不等式：找到不等式解集的过程称为求解不等式。

不等式的解集可以用数轴表示：

不等式的基本性质

基本性质1：不等式两边加（或减）相同的数（或式），则不等号的方向不变。

如果b'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='agt;b'role='presentation'abab，然后bc'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a#xB1;cgt;b#xB1;c'role='presentation'acbcacbc

基本性质2：如果不等式两边都乘（或除）同一个正数，则不等号的方向不变。

如果b'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='agt;b'role='presentation'abab和0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='cgt;0'role='presentation'c0c0，然后bc'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='acgt;bc'角色='presentation'acbcacbc(or\fracbc'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；position:相对；color:绿色；'data-mathml='acgt;bc'role='presentation'acbc\fracac\fracbc)

基本性质3：当不等式两边都乘（或除）同一个负数时，不等号的方向发生变化。

如果b'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='agt;b'role='presentation'abab和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='clt;0'role='presentation'c0c0，然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='aclt;bc'角色='演示'acbcacbc（或rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；position:相对；color:绿色；'data-mathml='aclt;bc'role='presentation'acbc\fracac\fracbc)

“注意”

对于包含“”的不等式，乘（或除）非0的数仍将是“”。2.如果不等式两边同时乘以0，则不等式变为方程。

这一部分的知识点非常多，我们来看一些例子。

例1：将不等式ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x#x2A7E;#x2212;1'role='presentation'x1x-1在数轴上表示。正确的是()极简分析：根据以上知识点，“rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'数据-mathml='#x2265;'role='presentation'\geq"应该是实点，所以排除A和B。

“rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；position:相对；color:绿色；'数据-mathml='#x2265;'role='presentation'\geq"应该指向它，它是右偏的，所以选择C。

解：C.

例2:下列说法正确的是（）

A、如果b'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='agt;b'role='presentation'abab，然后1'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='abgt;1'role='presentation'ab1\fracab1B.如果b'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='agt;b'role='presentation'abab，则20183b'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='2018#x2212;3agt;2018#x2212;3b'角色='演示'20183a20183b20183a20183bC.ifb'rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='agt;b'role='presentation'abab，然后bc^2'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ac2gt;bc2'role='presentation'ac2bc2ac^2bc^2D.如果bc^2，则b'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ac2gt;bc2#xFF0C;#x5219;agt;b'role='presentation',thenac2bc2,thenabac^2bc^2,thenab极简分析：这样的问题测试不等式的基本性质，而且很容易出错。做题的时候一定要了解每个选项是如何转化的，并且要仔细思考每种情况。

选项A显然给不平等的双方都增加了风险。tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='b'role='presentation'bb，但我们不确定rame'tabindex='0'style='font-size:100%的符号；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='b'role='presentation'bb，不知道是否要改数字，所以A错了。

选项B：先给两边不等式ram'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x00D7;(#x2212;3)'role='presentation'(3)\times(-3)，这次你应该更改"'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；position:相对；color:绿色；'data-mathml='gt;'role='presentation'”变为“rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='lt;'role='presentation'”，那么等式两边都是相同的'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='+2018'role='presentation'+2018+2018，不等号方向不变，仍然是“rame”tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-块；position:相对；color:绿色；'数据-mathml='lt;'role='presentation'"，所以B错误。

C选项同时rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x00D7;c2'role='presentation'c2\timesc^2，而rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='c2#x2265;0'角色='演示'c20c^2\geq0，如果rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='c=0'role='presentation'c=0c=0，那么不等式就会变成一个方程。

D选项同时rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x00F7;c2'role='presentation'c2\divc^2，和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='c2#x2265;0'role='presentation'c20c^2\geq0，问题中有一个隐式条件告诉我们，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='c#x2260;0'角色='演示'c0c\ne0，所以0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='c2gt;0'role='presentation'c20c^20，不等号方向保持不变。D是正确的。

解：选D。

小结：做这类题的时候，一定要思考你所乘或除的数的取值范围，并找到反例来推翻选项。

不平等的概念到这里就结束了。每个人都需要了解不平等并掌握不平等的基本属性。

我是影子老师，跟着我学习更多初中数学吧！

下期预告：数学知识篇20：一元一次不等式