函数列收敛和函数项级数收敛(函数列与函数项级数一致收敛)
一、定义
函数栏:顾名思义,函数栏就是一列函数。“函数”体现在自变量x上,“列”体现在函数上也包含n。
n=1,n=2,n=3.形成类似于序列的函数序列
函数项系列:将上述函数列相加,得到函数项系列,记为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='Sn(x)'角色='演示'Sn(x)S_{n}(x)
Sum函数:一系列函数项的总和,记为:rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='S(x)'角色='演示'S(x)S_{}(x)
二、求解收敛域与和函数
前面的数值级数要求我们知道一个数值级数是否收敛。
这就需要求解收敛域
证明一个数值级数的收敛性和发散性,并不等于给定x,然后判断它是否收敛
现在我们需要解决收敛域。其实方法和上一章是一样的。
例如:
思路:由于是非正项,所以先取绝对值,然后优先取比值和根值。这里用比例显然更方便【常规套路】
当rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'数据-mathml='n#x2192;#x221E;'role='presentation'nn\rightarrow\infty,给定x,得到的值大于1,表示发散,这个x是不可取的
如果小于1,说明收敛,x可以接受;如果等于1则无法判断。你可以选择直接代入原来的函数。添加后,就成为一个收敛级数。
只需使用上一章的知识即可
三、一致收敛
“收敛”是n的要求。即使n已经很大,仍然需要保证sum收敛到一个值。
“一致”是x0x_{0}的要求,rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='x1'role='presentation'x1x_{1}一定是可以的,以此类推,趋向于内的x都满足条件,表现出的是一致性。
1、为什么研究一致收敛?
通过“一致”的解释,我们可以知道x的值会影响sum函数的性质。求和函数连续且可微吗?
都会受到影响,只有个别点才能满足上述要求,称为逐点收敛。
那么是否存在一个函数序列,对于收敛域中的不同x,具有连续、可微的良好性质呢?
x可以连续选择,称为一致收敛
因此,对于定义域中的x,主要研究它是否一致收敛。
2、如何判断一致收敛?
ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='#x03B2;n'role='presentation'n\beta_{n}表示求和函数与一系列函数项之间的最大差值[距离]。如果这个距离可以无限小,则认为这些函数收敛于和函数
注意,现在比较的不是一个点,而是一个函数,一条曲线。只有考虑到整条曲线上的每个点,才能说是“一致”的
本质是看两个函数是否无限接近。
3、具体解法
既然我们讨论一致性,那么要解决最大距离,我们需要知道最大距离出现在哪一点,即哪个x。此时,我们将x视为自变量
通过推导等确定最大ramtabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='Sn(x)'role='演示'Sn(x)S_{n}(x),关于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='S(x)'role='presentation'S(x)S(x)解与x无关,等效于基准函数。通过rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'数据-mathml='n#x2192;#x221E;'角色='演示'nn\rightarrow\infty得到
解决rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='#x03B2;n'role='presentation'n\beta_{n}之后判断rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'数据-mathml='n#x2192;#x221E;'角色='演示'nn\rightarrow\infty,rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='#x03B2;n'角色='presentation'n\beta_{n}极限是否为0?
我们这里说的是函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='Sn(x)'role='presentation'Sn(x)S_{n}(x)进行运算,如果知道通项,可以直接对通项进行运算,
判断通项是否收敛于0,rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'数据-mathml='|un(x)#x2212;u(x)|#x2192;0'角色='演示'|un(x)u(x)|0|u_{n}(x)-u(x)|\rightarrow0
当函数项级数一致收敛时,那么通项必然一致收敛于0,相当于无穷大时加0。只有前者才能推导出后者。
该方法常用于判断函数项级数的不一致收敛性。这不能反过来说。例如rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='#x03A3;1n'角色='演示'1n\Sigma\frac{1}{n}常数函数
常数函数与x无关,所以收敛意味着一致收敛,rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='1n'role='presentation'1n\frac{1}{n}收敛到0,但是sum函数不收敛
由于我们只知道通用项,所以我们必须自己将一系列函数项相加。
4、常用结论
这表明一致收敛可以扩展到区间的端点
如果区间的端点收敛不一致,那么即使是开区间也不会一致收敛。该方法通常用于确定给定区间内的不一致收敛。
例如:rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='#x03A3;cosnxn'角色='演示'cosnxn\Sigma\frac{cosnx}{n}间隔RAM'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='(0,2#x03C0;)'role='presentation'(0,2)(0,2\pi),代入0,发现收敛不一致,因此区间内收敛不一致
5、Weierstrass判别法
存在正项级数,且正项级数总项大于函数项级数总项的绝对值max。如果正项级数收敛,则函数项级数也收敛。
这里,由于函数项级数与x有关,所以需要先求导,使得函数项级数的绝对值为max,然后求正项级数
例如:
思路:先求导数,找到使其最大化的x,然后带入后对新的数值级数进行分析。另外,对于不一致收敛,采用柯西翻转
一般情况下,选取'role='presentation'x=1nx=\frac{1}{n}的值,证明不一致收敛
特别:一般来说,如果W方法得到的序列发散,应该用柯西收敛来证明发散。
四、性质
1、通项连续且函数项级数一致收敛——函数项级数连续
2、通项在开区间连续,函数项级数在闭区间一致收敛【称为内闭一致收敛】----函数项级数在开区间连续
3.与函数连续——函数项级数一致收敛
4.和函数不连续——函数项级数不一致收敛
注意区别:前两个是通用术语,后两个是求和函数。
5.然而,函数项级数的不一致收敛并不能导致函数项级数的不连续性。
6.一致收敛+连续性——逐项可积【可以把积分符号放在求和中】
7、某点收敛+导函数连续+导函数一致收敛---可逐项可微【可以先求导再求和】
8.当研究无界区间或开区间上的逐项可微性时,
它可以类似于内闭一致收敛:的证明。首先,证明对于所研究的区间中包含的任何有界闭区间都满足逐项可微性,
那么逐项可微性可以扩展到整个区间
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