函数列收敛和函数项级数收敛(函数列与函数项级数一致收敛)

一、定义

函数栏：顾名思义，函数栏就是一列函数。“函数”体现在自变量x上，“列”体现在函数上也包含n。

n=1,n=2,n=3.形成类似于序列的函数序列

函数项系列：将上述函数列相加，得到函数项系列，记为rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Sn(x)'角色='演示'Sn(x)S_{n}(x)

Sum函数：一系列函数项的总和，记为：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='S(x)'角色='演示'S(x)S_{}(x)

二、求解收敛域与和函数

前面的数值级数要求我们知道一个数值级数是否收敛。

这就需要求解收敛域

证明一个数值级数的收敛性和发散性，并不等于给定x，然后判断它是否收敛

现在我们需要解决收敛域。其实方法和上一章是一样的。

例如：

思路：由于是非正项，所以先取绝对值，然后优先取比值和根值。这里用比例显然更方便【常规套路】

当rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='n#x2192;#x221E;'role='presentation'nn\rightarrow\infty，给定x，得到的值大于1，表示发散，这个x是不可取的

如果小于1，说明收敛，x可以接受；如果等于1则无法判断。你可以选择直接代入原来的函数。添加后，就成为一个收敛级数。

只需使用上一章的知识即可

三、一致收敛

“收敛”是n的要求。即使n已经很大，仍然需要保证sum收敛到一个值。

“一致”是x0x_{0}的要求，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x1'role='presentation'x1x_{1}一定是可以的，以此类推，趋向于内的x都满足条件，表现出的是一致性。

1、为什么研究一致收敛？

通过“一致”的解释，我们可以知道x的值会影响sum函数的性质。求和函数连续且可微吗？

都会受到影响，只有个别点才能满足上述要求，称为逐点收敛。

那么是否存在一个函数序列，对于收敛域中的不同x，具有连续、可微的良好性质呢？

x可以连续选择，称为一致收敛

因此，对于定义域中的x，主要研究它是否一致收敛。

2、如何判断一致收敛？

ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03B2;n'role='presentation'n\beta_{n}表示求和函数与一系列函数项之间的最大差值[距离]。如果这个距离可以无限小，则认为这些函数收敛于和函数

注意，现在比较的不是一个点，而是一个函数，一条曲线。只有考虑到整条曲线上的每个点，才能说是“一致”的

本质是看两个函数是否无限接近。

3、具体解法

既然我们讨论一致性，那么要解决最大距离，我们需要知道最大距离出现在哪一点，即哪个x。此时，我们将x视为自变量

通过推导等确定最大ramtabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Sn(x)'role='演示'Sn(x)S_{n}(x),关于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='S(x)'role='presentation'S(x)S(x)解与x无关，等效于基准函数。通过rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='n#x2192;#x221E;'角色='演示'nn\rightarrow\infty得到

解决rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03B2;n'role='presentation'n\beta_{n}之后判断rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='n#x2192;#x221E;'角色='演示'nn\rightarrow\infty，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03B2;n'角色='presentation'n\beta_{n}极限是否为0？

我们这里说的是函数rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='Sn(x)'role='presentation'Sn(x)S_{n}(x)进行运算，如果知道通项，可以直接对通项进行运算，

判断通项是否收敛于0，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='|un(x)#x2212;u(x)|#x2192;0'角色='演示'|un(x)u(x)|0|u_{n}(x)-u(x)|\rightarrow0

当函数项级数一致收敛时，那么通项必然一致收敛于0，相当于无穷大时加0。只有前者才能推导出后者。

该方法常用于判断函数项级数的不一致收敛性。这不能反过来说。例如rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03A3;1n'角色='演示'1n\Sigma\frac{1}{n}常数函数

常数函数与x无关，所以收敛意味着一致收敛，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='1n'role='presentation'1n\frac{1}{n}收敛到0，但是sum函数不收敛

由于我们只知道通用项，所以我们必须自己将一系列函数项相加。

4、常用结论

这表明一致收敛可以扩展到区间的端点

如果区间的端点收敛不一致，那么即使是开区间也不会一致收敛。该方法通常用于确定给定区间内的不一致收敛。

例如：rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x03A3;cosnxn'角色='演示'cosnxn\Sigma\frac{cosnx}{n}间隔RAM'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(0,2#x03C0;)'role='presentation'(0,2)(0,2\pi)，代入0，发现收敛不一致，因此区间内收敛不一致

5、Weierstrass判别法

存在正项级数，且正项级数总项大于函数项级数总项的绝对值max。如果正项级数收敛，则函数项级数也收敛。

这里，由于函数项级数与x有关，所以需要先求导，使得函数项级数的绝对值为max，然后求正项级数

例如：

思路：先求导数，找到使其最大化的x，然后带入后对新的数值级数进行分析。另外，对于不一致收敛，采用柯西翻转

一般情况下，选取'role='presentation'x=1nx=\frac{1}{n}的值，证明不一致收敛

特别：一般来说，如果W方法得到的序列发散，应该用柯西收敛来证明发散。

四、性质

1、通项连续且函数项级数一致收敛——函数项级数连续

2、通项在开区间连续，函数项级数在闭区间一致收敛【称为内闭一致收敛】----函数项级数在开区间连续

3.与函数连续——函数项级数一致收敛

4.和函数不连续——函数项级数不一致收敛

注意区别：前两个是通用术语，后两个是求和函数。

5.然而，函数项级数的不一致收敛并不能导致函数项级数的不连续性。

6.一致收敛+连续性——逐项可积【可以把积分符号放在求和中】

7、某点收敛+导函数连续+导函数一致收敛---可逐项可微【可以先求导再求和】

8.当研究无界区间或开区间上的逐项可微性时，

它可以类似于内闭一致收敛：的证明。首先，证明对于所研究的区间中包含的任何有界闭区间都满足逐项可微性，

那么逐项可微性可以扩展到整个区间