勾股定理的证明方法(勾股定理的证明方法最简单的6种)

三串、四串、五串，世界上最稳定的东西就是三角形。现今保存的数学典籍中，最早的仅有《周髀算经》。他的借口是周公请商皋讨论毕达哥拉斯定理。昔周公问商皋，商皋曰：‘闻先生善数数，请古师包惜为周立历。天不能以步登，地不能以丈量，我如何告诉你如何计算呢？””上皋曰：“数法从圆来，圆从方来，方从矩来，矩从九九八十一来。因此，折矩时，认为句子有三股、四径、五角。将时刻的外半部分圈起来，总共为三、四和五。两个时刻的总长度为二十五个，称为累积时刻。所以，大禹之所以能统治天下，就是从这个数而生的。”

周公与商皋的对话，其实就是毕达哥拉斯学派的始祖。因此，毕达哥拉斯定理在古代被称为商高定理。然而，正如《周髀算经》中提到的，大多数借口都是古代编出来的，目的是为了在不久的将来迷惑人们。不过，据说古阳城还存在周公之日的遗址。因此可知，我国用于天文测量的毕达哥拉斯法虽然不一定起源于第三代，但其起源还是很早的。也可以证明中国算法起源于天文测量。

中国古代数学文献常常用经文给出定理或命题，并用注解来证明和解答。如《周髀算经》，既有汉代赵爽的注解，又有北朝甄鸾的复述和唐代李淳风的注解。《周髀算经》经文中提到的毕达哥拉斯定理只是由商皋与周公之间的问题推导出来的，原因并没有详述。赵爽的笔记是图片和证明。

赵爽笔记：《周髀算经》弦图（宋嘉定六年《周髀算经》上海图书馆藏）右图、左图、赵爽笔记：《句串圆方图：句子股相乘，分别组合成一个实心串，开平方除以就是串，根据串图，可以将股相乘得到朱氏，加倍就是朱氏4.差值相乘股数本身称为中黄石，加差亦为弦，弦减差，余为一半，用差如下法，除以规定，再得句子。在句子中添加差异，即股票。字符串和股票的任何组合都会成为字符串。或者在外面添加矩，或者在里面添加方形。形状很奇怪但是测量是统一，身体不同但数量统一。该句的真正关键在于股与弦的差别宽，股与弦合起来就宽。真正的绳子里面是方形的，句子的真正时刻是绳子是真实的。打开其余部分，即股线。两边双股就是下面的方法，打开矩句的角，就是股和弦的区别。将股线相加作为字符串，然后除以差值来划分句子，我们就得到了股线和字符串。分句分句，我们也得到了股线和字符串的区别。如果自己组合相乘的话，字符串和句子的区别才是真正的，相乘的时候就是规律，结果也是字符串。句子相减并合，自己相乘，就是股。弦的矩是实的，弦与句的区别就是宽，弦就是弦。而且它是广阔的。而句子的实部在中间，减去矩股的实部在弦的实部，剩下的打开，就是句子。对倍的句子在两列中，就是下面的方法，张开力矩链的角度就是弦与句子的差值。添加的句子是字符串。将股线除以差值，我们得到句子串并集。将股线除以并集，我们也可以得到句子串的差异。让并与自身相乘，股是实心的，乘法是方法，结果也是字符串。这些股线被减去并组合，并且它们自身相乘。按照方法来说，就是一个句子。将两个差值相乘再相乘，这样字符串与字符串的差值就增加了，就是一个句子。字符串与字符串的差值增加为字符串。两个字符串的差值增加为一个字符串。双串确实如此，列出串与串的区别。如果真品是减弦和真品的话，就用图片来测试一下。如果绳子是真品的两倍，外面会很宽大，但有更多的黄色固体。越黄的实心就是句子和真实的差异。用差减实，开余，外方将大方。大方的一面是句与股合二为一。如果合并是乘以自身，实际上是减少了双倍的字符串，剩下的打开得到中间的黄色方块。黄色方块的面是句子和股线之间的区别。该句子是通过减去合并与一半的差值，然后加上合并与一半的差值来构成的。它是一根绳子，它的双绳就是浩瀚。让gu这个句子看看，它是和自己相乘，四个事实相减，开余，结果就是差。用和减去差，余数减半，就宽了。减少弦的宽度，这就是你想要的。”

根据赵爽的证明方法，我们尝试用现代数学表达方法来表达：

自画S方ABCD=4SAED+S方EFGH，

即c2=4(ab)+(b-a)2，

所以c2=a2+b2，毕达哥拉斯定理得证。

可见，当时赵爽用了不到五百字和三张图，证明了商高、周公提到的毕达哥拉斯定理。

欧几里得有一个证明毕达哥拉斯定理的方法叫做“新娘椅”：（来自百度百科）

在证明这个定理时，我们需要以下四个辅助定理：

如果两个三角形有两组对应边，且两组边之间的角度相等，则这两个三角形全等。(SAS)

三角形的面积是任何同底同高的平行四边形面积的一半。

任何正方形的面积都等于其两条边长的乘积。

任何矩形的面积都等于其两条边长的乘积（根据辅助定理3）。

证明的思路是：从A点向对边画一条直线，使其与对边垂直。延长这条线，将对面的正方形一分为二，根据面积关系，通过等高同底的三角形，将上面的两个正方形变成下面两个面积相等的矩形。

设ABC为直角三角形，其直角为CAB。

它的边是BC、AB和CA，按顺序绘制为正方形CBDE、BAGF和ACIH。

过A点画与BD和CE平行的线，分别在K和L处垂直于BC和DE。

将CF和AD分别连接形成BCF和BDA。

CAB和BAG都是直角，所以C、A、G共线。同理可证明B、A、H共线。

CBD和FBA都是直角，所以ABD=FBC。

因为AB=FB，BD=BC，所以ABDFBC。

由于A与K、L在同一直线上，所以四边形BDLK=2ABD

由于C、A、G在同一条直线上，故平方BAGF=2FBC。

因此四边形BDLK=BAGF=AB。

同理，可以证明四边形CKLE=ACIH=AC。

将这两个结果相加，AB+AC=BDBK+KLKC

由于BD=KL，所以BDBK+KLKC=BD(BK+KC)=BDBC

由于CBDE是正方形，AB+AC=BC，即a+b=c。

该证明在《Euclid《几何原本》一书的第1.47节中给出。对比欧几里得和赵爽的证明方法，显然赵爽的方法要简单、清晰得多。